Stichprobe und Aussagekraft berechnen mit Formeln für Konfidenzintervalle

Das Wichtigste auf einen Blick

• Der Standardfehler eines Anteilswerts folgt aus der Wurzel von p mal (1 - p) geteilt durch n.
• Das 95-Prozent-Konfidenzintervall entsteht aus p plus/minus 1,96 Standardfehlern.
• Der Designeffekt erhöht die Varianz, die effektive Fallzahl sinkt auf n geteilt durch deff.
• Die Mindeststichprobe wächst quadratisch mit der Fehlermarge, die Kosten wachsen mit der Fallzahl.
• Interviewpreise werden netto gerechnet, hinzu kommen 19 Prozent Umsatzsteuer.

Vom Anteilswert zum Konfidenzintervall

Die Berechnung startet mit dem geschätzten Anteil p und der realisierten Fallzahl n. Für eine einfache Zufallsauswahl lautet der Standardfehler SE = Wurzel( p * (1 - p) / n ). Das 95-Prozent-Intervall liegt bei p plus/minus 1,96 mal SE. Der z-Wert 1,96 stammt aus der Standardnormalverteilung, für 90 Prozent gilt 1,645 und für 99 Prozent 2,576.

Ein Rechenbeispiel: Von 1.000 Befragten nennen 42 Prozent den Preis als wichtigstes Kaufkriterium. Dann ist p = 0,42 und p * (1 - p) = 0,2436. Geteilt durch 1.000 ergibt das 0,0002436, die Wurzel liegt bei 0,0156 oder 1,56 Prozentpunkten. Das 95-Prozent-Intervall reicht damit von 38,94 bis 45,06 Prozent.

Die Normalapproximation trägt, solange n mal p und n mal (1 - p) mindestens fünf betragen. Bei kleineren Fallzahlen weicht das Intervall in Richtung der exakten Binomialverteilung ab.

Schrittfolge: Von der Datei zum fertigen Intervall

1. Auswahlrahmen festlegen: Grundgesamtheit, Auswahleinheit und Schichtungsmerkmale schriftlich festhalten.
2. Gewichte prüfen: Designgewicht und Anpassungsgewicht kalibrieren, bis die Randverteilungen passen.
3. Anteilswert rechnen: p als gewichteten Anteil ausgeben, nicht als ungewichteten Rohwert.
4. Streuung schätzen: den Standardfehler mit dem Designeffekt multiplizieren und dann die Wurzel ziehen.
5. Intervall berichten: Anteil, Grenzen, Fallzahl, Designeffekt und Ausschöpfungsquote gemeinsam ausweisen.

Die Grundgesamtheit lässt sich über amtliche Strukturdaten beschreiben, etwa über die Wirtschaftsstatistiken des Statistischen Bundesamts.

Designeffekt und effektive Stichprobe

Klumpung, Schichtung und Gewichtung verändern die Varianz. Der Designeffekt deff ist das Verhältnis der Varianz der realisierten Stichprobe zur Varianz einer einfachen Zufallsauswahl gleicher Größe. Die effektive Fallzahl beträgt n geteilt durch deff, der korrigierte Standardfehler lautet SE = Wurzel( deff * p * (1 - p) / n ).

Bei deff = 1,6 und n = 1.000 sinkt die effektive Fallzahl auf 625. Mit p = 0,42 steigt der Standardfehler von 1,56 auf 1,97 Prozentpunkte. Das Intervall wächst damit von plus/minus 3,06 auf plus/minus 3,87 Prozentpunkte. Ein Designeffekt von 1,6 kostet rechnerisch 37,5 Prozent der Fallzahl.

Der Designeffekt lässt sich vorab aus der Intraklassenkorrelation rho und der mittleren Klumpengröße b schätzen: deff = 1 + (b - 1) * rho. Bei b = 20 und rho = 0,03 ergibt das 1,57.

Bei Eurostat zählen Genauigkeit und Stichprobenfehler zu den eigenen Qualitätsdimensionen europäischer Statistik. Für die Dokumentation von Auswahlverfahren sind die Survey Guidelines von GESIS eine einschlägige Referenz.

Mindeststichprobe und Budget in Euro

Die Mindeststichprobe folgt aus n = z^2 * p * (1 - p) / e^2, wobei e die halbe Breite des Konfidenzintervalls als Anteil bezeichnet. Bei 95 Prozent Sicherheit, p = 0,5 und e = 0,03 ergibt sich n = 3,8416 * 0,25 / 0,0009 = 1.067,1, aufgerundet 1.068 Fälle.

Bei endlichen Grundgesamtheiten verkürzt die Korrektur n_korr = n / (1 + (n - 1) / N) den Bedarf. Für N = 20.000 und n = 1.068 sinkt er auf rund 1.014 Fälle. Mit deff = 1,6 steigt der Bedarf auf 1.708 Fälle, nach der Korrektur auf rund 1.574.

Im Rechenbeispiel kostet ein vollständiges Interview 28,00 Euro netto (Stand 2025). Bei 1.574 Interviews ergibt das 44.072,00 Euro netto, zuzüglich 19 Prozent Umsatzsteuer 52.445,68 Euro brutto. Eine Fehlermarge von 2 Prozentpunkten verlangt rund 3.223 Fälle und damit 107.390,36 Euro brutto.

Aussagekraft bei Preisvergleichen

Preisvergleiche zwischen Regionen folgen derselben Rechnung. Der Harmonisierte Verbraucherpreisindex (HVPI) gewichtet Güter nach ihrem Warenkorbanteil; die harmonisierte Methodik des HVPI beschreibt Auswahl und Gewichtung der Preise. Ein Preisabstand von zwei Prozentpunkten bleibt zufällig, wenn der Standardfehler bei 1,5 Prozentpunkten liegt.

Häufige Fragen

Was bedeutet eine Fehlermarge von drei Prozentpunkten?

Das Intervall um den Anteil ist dann sechs Prozentpunkte breit. Bei p = 0,5 und 95 Prozent Sicherheit sind dafür rund 1.068 Fälle nötig, ohne Designeffekt.

Warum ist mein Konfidenzintervall breiter als berechnet?

Weil eine einfache Zufallsauswahl selten vorliegt. Klumpung, Gewichtung und ungleiche Auswahlwahrscheinlichkeiten erzeugen einen Designeffekt, der den Standardfehler erhöht.

Wie gehe ich bei kleinen Stichproben vor?

Unter etwa 30 Fällen je Gruppe ersetzt die t-Verteilung den z-Wert. Für kleine Anteile sind exakte oder Wilson-Intervalle genauer als die Normalapproximation.

Zählt die Ausschöpfungsquote zum Stichprobenfehler?

Nein. Der Stichprobenfehler beschreibt nur die Zufallsabweichung. Ausfälle erzeugen Verzerrungen, die über Gewichtung und Nonresponse-Analysen behandelt werden.